Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng số lượng giới hạn bởi một con đường cong và trục hoành
Một phương pháp tổng quát, diện tích(S)của hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị của hàm số(fleft(x ight))liên tục, trục hoành và hai đường thẳng(x=a,x=b)được tính theo công thức:
(S=int_a^bleft|fleft(x ight) ight|dx)
Ví dụ 1: Tính diện tích s của hình phẳng được giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số(y=x^3), trục hoành và hai đường thẳng(x=-1,x=2).
Bạn đang xem: Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường
Giải:
Ta có(x^3le0)trên đoạn(left<-1;0 ight>)và(x^3ge0)trên đoạn(left<0;2 ight>). Áp dụng cách làm trên ta có:
(S=int_-1^2left|x^3 ight|dx=int_-1^0left(-x^3 ight)dx+int_0^2x^3dx)
(=-dfracx^44|^0_-1+dfracx^44|^2_0=dfrac174)
38241
2. Hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đường cong
Cho nhị hàm số(y=f_1left(x
ight))và(y=f_2left(x
ight))liên tục trên đoạn(left
Khi đó diện tích(S)của hình(D)được tính vì chưng công thức:
(S=int_a^bleft|f_1left(x ight)-f_2left(x ight) ight|dx)
Chú ý: Muốn vận dụng được phương pháp này ta đề nghị khử dấu giá trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất của hàm số dưới vết tích phân. Ta giải phương trình(f_1left(x
ight)-f_2left(x
ight)=0)trên đoạn(left
(int_a^cleft|f_1left(x
ight)-f_2left(x
ight)
ight|dx=left|int_a^cleft
Ví dụ 2: Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng(x=0,x=pi)và đồ vật thị của hai hàm số(y=cos x,y=sin x).
Giải:
Đặt(f_1left(x ight)=cos x,f_2left(x ight)=sin x)
Ta có(f_1left(x ight)-f_2left(x ight)=0Leftrightarrowcos x-sin x=0Leftrightarrow x=dfracpi4inleft<0;pi ight>)
Vậy diện tích của hình phẳng đã mang lại là:
(S=int_0^pileft|cos x-sin x ight|dx=int_0^dfracpi4left|cos x-sin x ight|dx+int_dfracpi4^pileft|cos x-sin x ight|dx)
(=left|int_0^dfracpi4(cos x-sin x)dx ight|+left|int_dfracpi4^pi(cos x-sin x)dx ight|)
(=left|left(sin x+cos x ight)|^dfracpi4_0 ight|+left|left(sin x+cos x ight)|^pi_dfracpi4 ight|=2sqrt2)
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng được số lượng giới hạn bởi hai tuyến đường cong(y=x^3-x)và(y=x-x^2).
Giải:
Ta có(f_1left(x ight)-f_2left(x ight)=left(x^3-x ight)-left(x-x^2 ight)=x^3+x^2-2x)
Phương trình(f_1left(x ight)-f_2left(x ight)=0)có những nghiệm(x_1=-2,x_2=0,x_3=1)
Vậy diện tích hình phẳng đã mang đến là:
(S=int_-2^1left|x^3+x^2-2x ight|dx=left|int_-2^0left(x^3+x^2-2x ight)dx ight|+left|int_0^1left(x^3+x^2-2x ight)dx ight|)
(=left|left(dfracx^44+dfracx^33-x^2 ight)|^0_-2 ight|+left|left(dfracx^44+dfracx^33-x^2 ight)|^1_0 ight|)
(=dfrac83+dfrac512=dfrac3712).
II. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích của vật dụng thể
Cắt một trang bị thể(lambda)bởi nhì mặt phẳng(left(P
ight))và(left(Q
ight))vuông góc cùng với trục hoành thứu tự tại(x=a,x=b)(left(a. Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc cùng với trục hoành trên điểm(x)((ale xle b)) cắt(lambda)bởi một thiết diện gồm diện tích(Sleft(x
ight)). đưa sử(Sleft(x
ight))liên tục bên trên đoạn(left
Người ta minh chứng được rằng thể tích(V)của phần đồ dùng thể(lambda)giới hạn vày hai mặt phẳng(left(P ight))và(left(Q ight))được tính vì công thức:
(V=int_a^bSleft(x ight)dx)
Ví dụ 4: Tính diện tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng(B)và độ cao bằng(h).
Giải:
Chọn trục(Ox)song tuy nhiên với mặt đường cao của khối lăng trụ, còn nhì đáy nằm trong hai phương diện phẳng vuông góc với(Ox)tại(x=0,x=h).
Xem thêm: Tải Game Earn To Die 3 V1 - Tải Earn To Die 3 Trên Pc Với Giả Lập
Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc cùng với trục(Ox)cắt lăng trụ theo diện tích không đổi(Sleft(x ight)=B)((0le xle h)). Áp dụng bí quyết tính thể tích bên trên ta có:
(V=int_0^hSleft(x ight)dx=int_0^hBdx=Bx|^h_0=Bh).
2. Thể tích khối chóp cùng khối chóp cụt
a) mang lại khối chóp có độ cao bằng(h)và diện tích đáy bằng(B).
Chọn trục(Ox)vuông góc với phương diện phẳng đáy tại điểm(I)sao mang lại gốc(O)trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng khẳng định bởi vectơ(overrightarrowOI). Lúc đó(OI=h). Một khía cạnh phẳng(left(alpha ight))vuông góc với(Ox)tại(xleft(0le xle h ight))cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là(Sleft(x ight)).
Khi kia thể tích(V)của khối chóp được tính bởi công thức:
(V=int_0^hSleft(x ight)dx=int_0^hBdfracx^2h^2dx=dfracBh^2left(dfracx^33 ight)|^h_0=dfracBh3)
b) mang lại hình chóp cụt tạo bởi vì khối chóp đỉnh(S)có diện tích hai đáy lần lượt là(B,B")và chiều cao(h).
Chọn trục(Ox)trùng với mặt đường cao của hình chóp cùng gốc(O)trùng với đỉnh(S). Nhì mặt phẳng đáy của hình chóp cụt cắt trục(Ox)tại(I)và(I"). Đặt(OI=b,OI"=aleft(a. Gọi(V)là thể tích của hình chóp cụt. Ta có:
(V=int_a^bBdfracx^2b^2dx=dfracB3b^2left(b^3-a^3 ight)=B.dfracb-a3.dfraca^2+ab+b^2b^2)
Vì(B"=Bdfraca^2b^2)và(h=b-a)nên
(V=dfrach3left(B+sqrtBB"+B" ight))
III. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Giả sử một hình thang cong số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số(y=fleft(x ight)), trục(Ox)và hai tuyến đường thẳng(x=a,x=b)quay quanh trục(Ox)tạo thành một khối tròn xoay. Khi ấy thể tích(V)của khối tròn xoay này được tính vị công thức:
(V=piint_a^bf^2left(x ight)dx).
Ví dụ 5. Cho hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị(y=sin x), trục hoành và hai tuyến đường thẳng(x=0,x=pi). Tính thể tích khối tròn chuyển phiên thu được khi quay hình phẳng trên quanh trục(Ox).
Xem thêm: Những Phiên Bản Ổ Sata Là Gì, Ổ Cứng Sata Là Gì, Chuẩn Kết Nối Sata Của Ổ Cứng
Giải:
Áp dụng bí quyết trên ta rất có thể tích khối tròn xoay buộc phải tính là:
(V=piint_0^pisin^2xdx=dfracpi2int_0^pileft(1-cos2x ight)dx=dfracpi2left(x-dfrac12sin2x ight)|^pi_0=dfracpi^22).
